Análise Multivariada

Analise Fatorial

Modelo Fatorial: 1 fator comum

\[ \begin{align} X_1 &= \lambda_{1}f_1 + \epsilon_1 \\ X_2 &= \lambda_{2}f_1 + \epsilon_2 \\ X_3 &= \lambda_{3}f_1 + \epsilon_3 \end{align} \]

• O fator \(f\) não é observado, somente \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) são observadas.

• \(\epsilon_i\) representa a variabilidade de \(X_i\) não explicada por \(f\).

• \(X_i\) é uma função linear de \(f\) e \(\epsilon\)

Modelo Fatorial: 2 fatores comuns

Um modelo com 2 fatores pode ser representado por:

\[ \begin{align} X_1 &= \lambda_{11}f_1 + \lambda_{12}f_2 + \epsilon_1 \\ X_2 &= \lambda_{21}f_1 + \lambda_{22}f_2 + \epsilon_2 \\ X_3 &= \lambda_{31}f_1 + \lambda_{32}f_2 + \epsilon_3 \\ X_4 &= \lambda_{41}f_1 + \lambda_{42}f_2 + \epsilon_4 \\ \end{align} \]

Generalizando para \(p\) observações e \(k\) fatores, temos:

\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_p \end{bmatrix}_{p \times 1} = \begin{bmatrix} \lambda_{11} & \lambda_{12} & \dots & \lambda_{1k} \\ \lambda_{21} & \lambda_{22} & \dots & \lambda_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_{p1} & \lambda_{p2} & \dots & \lambda_{pk} \end{bmatrix}_{p \times k} \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_k \end{bmatrix}_{k \times 1} + \begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_p \end{bmatrix}_{p \times 1} \]

Notação Matricial

\[ X = \Lambda F + \epsilon \] sendo:

• \(X = (X_1, X_2,\ldots,X_p)^{'}\) um vetor aleatório com vetor de médias \(\mu\) e matriz de covariância \(\Sigma\).

• \(\Lambda = \{\lambda_{ij}\}_{p \times k}\) é a matriz (\(p \times k\)) das cargas fatoriais.

  • \(\lambda_{ij}\) é a carga da i-ésima variável em relação ao \(j-\)ésimo fator.

• \(F = (f_1, f_2,\ldots,f_k)^{'}\) é um vetor de scores fatoriais.

• \(\epsilon = (\epsilon _1, \epsilon _2,\ldots,\epsilon_p)^{'}\) é um vetor de erros.

2. Hipóteses

• \(F \sim (0, I_k)\), i.e, Os fatores latentes têm média zero, variância unitária e são não correlacionados.

• \(\epsilon \sim (0, \varepsilon_k)\), sendo \(\varepsilon = diag(\epsilon _1, \epsilon _2,\ldots,\epsilon_p)^{'}\) com \(\epsilon_j\) denotando a j-ésima variância específica ou singularidade.

• \(\epsilon_j\) e \(f_k\) são independentes para todo par \(j,k\).

• Nenhum dos componentes além de \(x\) é observado, mas a principal restrição é que os fatores não sejam correlacionadas e tenham média zero e variância unitária, e que os erros sejam independentes com variância \(\epsilon\).

3. Estrutura de Covariância Implícita de X

\[ \begin{align*} V(X) = \Sigma &= E[(X - \mu)(X - \mu)^{'}], \\ &= E[(\Lambda F + \epsilon)(\Lambda F + \epsilon)^{'}], \\ &= E[\Lambda F F^{'} \Lambda^{'}] + E[\Lambda F \epsilon^{'}] + E[\epsilon F^{'} \Lambda^{'}] + E[\epsilon \epsilon^{'}], \\ &= \Lambda E[FF^{'}] \Lambda^{'} + \Lambda E[F\epsilon^{'}] + E[\epsilon F^{'}]\Lambda^{'} + E[\epsilon \epsilon^{'}], \\ \Sigma &= \Lambda \Lambda^{'} + \varepsilon \end{align*} \]

• Visto que: \(E[FF^{'}] = I_k\), \(E[F\epsilon^{'}] = 0_{k \times p}\), \(E[\epsilon F^{'}] = 0_{p \times k}\) e \(E[\epsilon \epsilon^{'}] = \varepsilon\).

• Isto implica que a covariância entre \(X\) e \(F\) é:

\[ \begin{align*} Cov(X,F) &= E[(X - \mu)F^{'}], \\ &= E[(\Lambda F + \epsilon)F^{'}], \\ &= \Lambda \end{align*} \]

• Assim, podemos notar que o modelo da análise fatorial é em essência um modelo para a matriz de correlação de \(x\).

4. Variância Explicada pelos Fatores Comuns

A porção da variância da \(i-\)ésima variável que é explicada pelos k fatores comuns é chamada de comunalidade da i-ésima variável:

\[ \underbrace{\sigma_{ii}}_{V(X_i)} = \underbrace{h_{i}^2}_{\text{communality}} + \underbrace{\varepsilon_i}_{\text{uniqueness}} \] sendo:

• \(\sigma_{ii}\) a variância de \(X_i\)

• \(h_{i}^2 = (\Lambda \Lambda^{'})_{ii} = \lambda_{i1}^2 + \lambda_{i2}^2 + \ldots + \lambda_{ik}^2\) é a communality de \(X_i\).

• \(\varepsilon_i\) = é a variância específica, ou uniqueness, de \(X_i\).

• Note que a communality \(h_{i}^2\) é a soma das cargas quadráticas de \(X_i\).

Estimação por Máxima Verossimilhança do Modelo Fatorial

• Note que os parâmetros de interesse são as cargas fatoriais (\(\Lambda\)) e as variâncias específicas (uniqueness) da diagonal de \(\varepsilon\).

• Suponha que \(X \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(\mu, \Lambda \Lambda^{'} + \varepsilon)\) seja um vetor normal multivariado.

• A função log-verossimilhança para uma amostra de n observações tem a forma:

\[ \log L_n(\mu, \Lambda, \varepsilon;x) = \frac{np\log(2\pi)}{2} + \frac{n\log(|\Sigma^{-1}|)}{2} + \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^{'} \Sigma^{-1}(x_i - \mu))}{2} \]

• sendo \(\hat{\Sigma} = \hat{\Lambda} \hat{\Lambda}^{'} + \hat{\varepsilon}\).

• Utilizamos um algoritmo iterativo para maximizar $L_n(, ,;x) $.

• Este é o método implementado na função factanal() da linguagem R

• Uma outra função muito utilizada é fa() do pacote psych. Esta função possui diversos métodos possíveis de estimação programados:

  • Via Componentes Principais/Decomposição em Valor Singular (SVD)
  • Mínimos Quadrados Ordinários
  • Método Iterativo de Fatoração do Eixo Principal
  • …

Solução Indeterminada

Há uma indeterminação no modelo, pois ele permanece inalterado se \(\Lambda\) for substituída por \(G\Lambda\) para qualquer matriz ortogonal \(G\).

Estas matrizes \(G\) são conhecidas como rotações, embora o termo também seja aplicado a matrizes invertíveis não ortogonais.

Tipos de Análise Fatorial

Análise Fatorial Exploratória (EFA)

• Pergunta quais são os fatores presentes nos dados observados
• Requer interpretação
• Antes de assumir que está correto, necessário confirmar com a CFA

Análise Fatorial Confirmatória (CFA)

• Pergunta quão bem um modelo proposto se ajusta a determinados dados
• É um tipo de Modelo de Equações Estruturais (SEM)
• Não fornece uma resposta absoluta; é necessário comparar modelos

Termos e símbolos principais

• Variável latente: um suposto processo cognitivo ou de geração de dados que leva a dados observáveis. Muitas vezes é uma construção teórica. Exemplo: Interesse no produto. Símbolo: círculo/oval.

• Variável manifesta: variáveis observáveis que expressam variáveis latentes. Exemplo: “Quão interessado você está neste produto?” Símbolo: caixa.

• Fator: estimativa de uma variável latente e de seu relacionamento com variáveis manifestas. Exemplo: Interesse geral em uma categoria de produto.

• Cargas: a força do relacionamento entre um fator e uma variável. Exemplo: F1 \(\rightarrow\) v1 = 0,45. Intervalo [-1,0 … 1,0], iguais ao r de Pearson.

Etapas para a EFA

1. Importar e preparar os dados (padronização e lidar com assimetrias).

2. Examinar a matriz de correlação para ter uma ideia dos possíveis fatores.

3. Determinar o número de fatores.

4. Escolher um método de estimação.

5. Escolher uma rotação dos fatores.

6. Estimar o modelo e interpretar os fatores resultantes.

7. Repetir as etaps 3-5 se os resultados não forem claros, selecionar o modelo mais útil.

Análise Fatorial Exploratória

Para determinarmos o número de fatores, podemos visualizar a matriz de correlações:

corrplot::corrplot(cor(brand_df[ , 1:9]) , order = "hclust")

Podemos visualizar a formação de 3 clusters envolvendo variáveis similares, o primeiro envolve fun, latest e trendy, o segundo rebuy, bargain e value, e o terceiro perform, leader e serious.

Análise Fatorial Exploratória

• Podemos examinar os autovalores aplicando a função eigen() a uma matriz de correlação:

eigen(cor(brand_df[, 1:9]))

eigen() decomposition
$values
[1] 2.9792956 2.0965517 1.0792549 0.7272110 0.6375459 0.5348432 0.3901044
[8] 0.3120464 0.2431469

$vectors
            [,1]        [,2]        [,3]        [,4]        [,5]       [,6]
 [1,]  0.2374679 -0.41991179  0.03854006  0.52630873  0.46793435 -0.3370676
 [2,]  0.2058257 -0.52381901 -0.09512739  0.08923461 -0.29452974 -0.2968860
 [3,] -0.3703806 -0.20145317 -0.53273054 -0.21410754  0.10586676 -0.1742059
 [4,] -0.2510601  0.25037973 -0.41781346  0.75063952 -0.33149429  0.1405367
 [5,]  0.1597402 -0.51047254 -0.04067075 -0.09893394 -0.55515540  0.3924874
 [6,]  0.3991731  0.21849698 -0.48989756 -0.16734345 -0.01257429 -0.1393966
 [7,]  0.4474562  0.18980822 -0.36924507 -0.15118500 -0.06327757 -0.2195327
 [8,] -0.3510292 -0.31849032 -0.37090530 -0.16764432  0.36649697  0.2658186
 [9,]  0.4390184 -0.01509832 -0.12461593  0.13031231  0.35568769  0.6751400
              [,7]        [,8]        [,9]
 [1,]  0.364179109 -0.14444718  0.05223384
 [2,] -0.613674301  0.28766118 -0.17889453
 [3,] -0.185480310 -0.64290436  0.05750244
 [4,] -0.007114761  0.07461259  0.03153306
 [5,]  0.445302862 -0.18354764  0.09072231
 [6,]  0.288264900  0.05789194 -0.64720849
 [7,]  0.017163011  0.14829295  0.72806108
 [8,]  0.153572108  0.61450289  0.05907022
 [9,] -0.388656160 -0.20210688 -0.01720236

• Os três primeiros autovalores são maiores que 1,0, embora o terceiro valor dificilmente seja.

• Isto novamente sugere 3 ou, talvez, 2 fatores.

Teste de Hipótese

• A última seção apresenta os resultados de um teste de hipótese.

• A hipótese nula deste teste é que 2 fatores são suficientes para o nosso modelo.

• O baixo valor-p nos leva a rejeitar a hipótese e considerar a adição de mais fatores.

• Este teste de hipótese é possível devido ao método de estimação por máxima verossimilhança.

• Lembre-se do modelo estimado da análise fatorial:

\[ \hat{\Sigma} = \hat{\Lambda} \hat{\Lambda}^{'} + \hat{\varepsilon} \]

• Vamos ver o quão bem nosso modelo de dois fatores aproxima a matriz de correlação observada.

• Podemos extrair as cargas e singularidades do objeto fa_brand e executar a álgebra matricial necessária.

• O operador %*% executa a multiplicação de matrizes.

• A função t() transpõe uma matriz.

• A função diag() pega um vetor de k números e cria uma matriz k x k com os números na diagonal e 0s em todos os outros lugares.

• Abaixo, subtraímos a matriz de correlação estimada pelo modelo da matriz de correlação observada e arredondamos o resultado para 3 dígitos

round(cor(as.matrix(brand_df[, 1:9])) - (fa_brand$loadings %*% t(fa_brand$loadings) + diag(fa_brand$uniquenesses)), 3)

        perform leader latest    fun serious bargain  value trendy  rebuy
perform   0.000  0.009 -0.075 -0.018  -0.049  -0.018 -0.025 -0.005  0.088
leader    0.009  0.000  0.052  0.023   0.011  -0.001  0.020  0.002 -0.041
latest   -0.075  0.052  0.000  0.172   0.004   0.109  0.054  0.389 -0.132
fun      -0.018  0.023  0.172  0.000  -0.027   0.058  0.019  0.086 -0.044
serious  -0.049  0.011  0.004 -0.027   0.000   0.018 -0.005  0.034  0.007
bargain  -0.018 -0.001  0.109  0.058   0.018   0.000  0.034  0.075 -0.001
value    -0.025  0.020  0.054  0.019  -0.005   0.034  0.000  0.022 -0.026
trendy   -0.005  0.002  0.389  0.086   0.034   0.075  0.022  0.000 -0.019
rebuy     0.088 -0.041 -0.132 -0.044   0.007  -0.001 -0.026 -0.019  0.000

• Esta é a residual matrix.

• Gostaríamos de ver muitos números próximos de 0. Neste caso, temos vários números maiores que 0,05, indicando que nosso modelo de 2 fatores não é tão bom.

Modelo Fatorial: 3 fatores

• O modelo com 3 fatores explica uma proporção maior da variância do que o modelo com 2 fatores.

• Entretanto, o teste de hipótese de que 3 fatores são suficientes ainda apresenta um valor-p muito pequeno, o que nos leva a rejeitar a hipótese de que 3 fatores são suficientes.

• A solução de 3 fatores mantém os fatores associados a “valor” e “líder de categoria”.

• Mas adiciona um claro fator associado a “mais recente” que possui altas cargas fatoriais com latest e trendy.

• Isso adiciona um conceito interpretável à nossa compreensão dos dados.

• Ele também se alinha com a maior parte das sugestões dos testes scree e autovalores.

• Portanto, consideramos o modelo com 3 fatores superior ao com 2 fatores, devido a PVE maior, mais consistentes com o número de fatores sugerido pelos dados e produz uma solução mais interpretável.

Rotação Ortogonal

Suponho que tenhamos \(z = (x,y)^{'} \in \mathbb{R}^2\), i.e, pontos em um espaço euclidiano 2D.

Uma rotação ortogonal \(2 \times 2\) de \((x,y)\) da forma:

\[ \begin{pmatrix} x^{\ast} \\ y^{\ast} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

gira \((x,y)\) no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo \(\theta\).

E uma rotação ortogonal \(2 \times 2\) de \((x,y)\) da forma:

\[ \begin{pmatrix} x^{\ast} \\ y^{\ast} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

gira \((x,y)\) no sentido horário em torno da origem por um ângulo \(\theta\).

Note que a matriz de rotação \(2 \times 2\)

\[ R = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \]

é uma matriz ortogonal para todo \(\theta\):

\[ \begin{align} R^{'}R &= \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) & \cos(\theta)\sin(\theta) - \cos(\theta)\sin(\theta)\\ \cos(\theta)\sin(\theta) - \cos(\theta)\sin(\theta) & \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align} \] Suponha que temos uma matriz de dados \(X\) com \(p\) colunas:

• As linhas de \(X\) são as coordenadas dos pontos no espaço p-dimensional

Uma rotação ortogonal \(p \times p\) é uma transformação linear ortogonal

• \(R^{'}R = RR^{'} = I_p\), sendo \(I_p\) uma matriz identidade \(p \times p\)
• Se \(\tilde{X} = XR\) é uma matriz de dados rotacionada, \(\tilde{X}\tilde{X}^{'} = XX^{'}\).
• Rotações ortogonais preservam as relações entre os pontos.

Indeterminação rotacional do Modelo de Análise Fatorial

Suponha que \(R\) seja uma matriz de rotação ortogonal, e note que:

\[ \begin{align} X &= \Lambda F + \epsilon, \\ &= \tilde{\Lambda} \tilde{F} + \epsilon \end{align} \] Sendo:

• \(\tilde{\Lambda} = \Lambda R\) as cargas fatoriais rotacionadas, e;
• \(\tilde{F} = R^{'}F\) os scores fatoriais rotacionados

Temos que \(\tilde{\Lambda} \tilde{\Lambda}^{'} = \Lambda \Lambda{'}\).

• Então podemos girar ortogonalmente a solução do modelo fatorial sem alterar a estrutura de covariância implícita.

• Os métodos de rotação fatorial deveriam tentar encontrar alguma rotação de uma solução de um modelo fatorial que forneça uma interpretação mais parcimoniosa.

• Entretanto, o que se observa muitas vezes, é que aplicam rotações buscando uma solução mais “interpretável”.

Rotações: Motivação

• O resultado da EFA é simiar ao da PCA: uma matriz de fatores (semelhante a matriz de rotação da PCA) e sua relação com as variáveis originais (cargas dos fatores nas variáveis).

• Mas ao contrário da PCA, a EFA tenta encontrar soluções que sejam maximamente interpretáveis em termos das variáveis manifestas.

• Em geral, tenta encontrar soluções nas quais um pequeno número de cargas para cada fator sejam altas, enquanto outras cargas para esse fator sejam baixas.

• Quando isso é possível, esse fator pode ser interpretado em termos desse pequeno conjunto de variáveis manifestas.

Rotações

• Isto posto, uma solução de análise fatorial pode ser rotacionada para ter novas cargas que representem a mesma proporção de variância.

• Embora uma análise completa sobre rotações esteja fora do escopo deste curso, há uma questão que vale a pena considerar em qualquer EFA: você deseja permitir que os fatores sejam correlacionados entre si ou não?

• Podemos pensar que devemos deixar os dados decidirem. No entanto, a questão de permitir fatores correlacionados é menos uma questão sobre os dados do que sobre o conceito dos fatores latentes subjacentes.

• Consideramos que os fatores deveriam ser conceitualmente independentes ou faz mais sentido considerá-los relacionados? Uma rotação EFA pode ser obtida sob qualquer hipótese.

Rotações

• O padrão da função factanal() é encontrar fatores que tenham correlação zero (usando uma rotação varimax).

• Voltando aos nossos dados, podemos julgar que seria razoavelmente esperado que os fatores “valor” e “líder de categoria” estejam relacionados.

• Em muitas categorias, o líder pode obter um prêmio no preço e, portanto, poderíamos esperar que essas duas construções latentes estivessem negativamente correlacionadas, em vez de serem independentes uma da outra.

• Isso sugere que poderíamos permitir fatores correlacionados na solução.

• A rotação a ser usado neste caso é a rotação oblíqua (“oblíqua” porque os eixos dimensionais não são perpendiculares, mas “distorcidos” pela correlação entre os fatores).

Rotação Oblíqua

• Uma rotação oblíqua comum é a rotação oblimin do pacote GPArotation.

library(GPArotation)

# modelo fatorial com rotação oblíqua
(brand_fa_ob <- factanal(brand_df[, 1:9], factors = 3, rotation = "oblimin"))

Call:
factanal(x = brand_df[, 1:9], factors = 3, rotation = "oblimin")

Uniquenesses:
perform  leader  latest     fun serious bargain   value  trendy   rebuy 
  0.624   0.327   0.005   0.794   0.530   0.302   0.202   0.524   0.575 

Loadings:
        Factor1 Factor2 Factor3
perform          0.601         
leader           0.816         
latest                   1.009 
fun             -0.381   0.229 
serious          0.689         
bargain  0.859                 
value    0.880                 
trendy  -0.267   0.128   0.538 
rebuy    0.448   0.255  -0.226 

               Factor1 Factor2 Factor3
SS loadings      1.789   1.733   1.430
Proportion Var   0.199   0.193   0.159
Cumulative Var   0.199   0.391   0.550

Factor Correlations:
        Factor1 Factor2 Factor3
Factor1  1.0000  -0.388  0.0368
Factor2 -0.3884   1.000 -0.1091
Factor3  0.0368  -0.109  1.0000

Test of the hypothesis that 3 factors are sufficient.
The chi square statistic is 64.57 on 12 degrees of freedom.
The p-value is 3.28e-09 

Rotação Oblíqua

Quando comparamos o resultado da rotação oblimin com a rotação varimax, há duas diferenças principais:

1. As cargas fatoriais são ligeiramente diferentes para os relacionamentos dos fatores com os adjetivos. No entanto, as cargas são suficientemente semelhantes para que não haja mudança substancial na forma como interpretaríamos os factores. Há ainda fatores para “valor,” “líder,” e “mais recente”.

2. O resultado inclui uma matriz de correlação de fatores que mostra as relações entre os fatores latentes estimados. O Fator 1 (valor) é negativamente correlacionado com o Fator 2 (líder), r = −0,39, e é essencialmente não correlacionado com o Fator 3 (mais recente), r = 0,037.

Função semPlot::semPaths()

• Plotamos o modelo brand_fa_ob ajustado anteriormente.

• Para plotar as estimativas das cargas, usamos what = "est".

• Omitimos as estimativas residuais para variáveis manifestas usando residuals = FALSE.

• Em seguida, cortamos cargas com magnitude absoluta < 0,3 adicionando cut = 0.3 e as opções posCol = c("white", "darkgreen") e negCol = c("white", "red").

• O argumento posCol faz com que cargas positivas < 0,3 sejam coloridas em branco (e, portanto, não aparecem na saída), enquanto cargas > 0,3 devem ser verdes escuras.

• O argumento negCol exclui ou usa vermelho para cargas < 0.

• Ajustamos o tamanho do texto das cargas com edge.label.cex e criamos espaço para os nomes completos de variáveis com nCharNodes.

EFA: Scores dos Fatores

Para encontrar a posição geral de uma marca, odemos usar a função aggregate() para calcular as avaliações médias agregadas por marca, ou seja, a média de cada variável (adjetivo) por marca.

# calulca avaliacoes medias agregadas por marca
brand_fa_media <- aggregate(. ~ brand, data = brand_scores, mean)

# nomes das marcas como nome das linhas,
rownames(brand_fa_media) <- brand_fa_media[, 1]

# elimina a primeira coluna contendo os nomes
brand_fa_media <- brand_fa_media[, -1]

# nomeando as colunas com o nome dos fatores estimados
names(brand_fa_media) <- c("Leader", "Value", "Latest")
brand_fa_media

       Leader       Value      Latest
a  0.23158792 -1.06993703  0.39326652
b  0.09686823  1.51913070  0.72391174
c -0.58937138  1.45069457 -0.07690784
d -1.04380419 -0.78186861  0.37914638
e  0.52169760 -0.05373430  0.43709349
f  1.15218492  0.45442899 -1.28395765
g  1.36873947  0.04408369 -1.31900029
h -0.91592078 -0.31418560  0.52676516
i -0.66918513 -0.20741901  0.37331202
j -0.15279666 -1.04119340 -0.15362952

EFA: Scores dos Fatores

Finalmente, um mapa de calor pode representar graficamente os scores médios por marca:

heatmap.2(as.matrix(brand_fa_media),
  col = brewer.pal(9, "GnBu"), trace = "none", key = FALSE, dend = "none",
  cexCol = 1.2, main = "\n\n\nScore Fatorial Médio por Marca"
)

Conclusões

• A análise fatorial é desafiadora com tantas opções de estimação e métodos de rotação, juntamente com quantidades gigantescas de resultados (A saída da função factanal() é bastante pequena em comparação a outros programas.)

• No entanto, a decisão mais importante é o número de fatores. A escolha do método de estimação e rotação é menos crucial de acordo com JOHNSON; WICHERN (2007) .

• Se uma análise fatorial for bem-sucedida, várias combinações de métodos de estimação e rotações devem resultar na mesma conclusão.

• Em uma nota decepcionante, JOHNSON; WICHERN (2007) também afirmam que a “a grande maioria das tentativas de análises fatoriais não produz resultados claros” (p. 526).

• Não há garantia de que uma análise fatorial levará a uma descoberta satisfatória de fatores latentes significativos.

• Se você se ficar intrigado com os resultados de uma análise fatorial porque não parecia “funcionar”, há uma boa chance de você não ter feito nada de errado e que a análise fatorial simplesmente não tenha encontrado nada interessante.

• Um bom lugar para começar é examinar a matriz de correlação dos seus dados. Se houver poucas ou nenhuma correlações altas, realmente não adianta tentar uma análise fatorial.

• Podemos concluir que a Análise Fatorial Exploratória é uma forma útil de examinar a estrutura subjacente e o relacionamento entre as variáveis.

• Quando os itens estão relacionados aos construtos subjacentes, a EFA pode reduzir a complexidade dos dados, agregando variáveis para criar criar variáveis latentes mais simples e interpretáveis.